1 Johnson Transformationen

Oft liegen Daten vor, die durch klassische Verteilungsfunktionen nur mit unvertretbarem Fehler approximiert werden können. Um dennoch die Daten ausreichend gut durch eine analytisch darstellbare Funktion anzunähern, erweitert man die klassischen Verteilungsfunktionen durch ein Verteilungsfunktion-System. Hier wird das Johnson-System betrachtet ([15] Seite 164).

Dieses System entsteht durch Anwendung von drei Transformationen auf die Normalverteilung $N(\mu,\sigma)$ , um diese an verschiedene Anforderungen anzupassen. Sei $Z \sim N(\mu',\sigma)$ eine Normalverteilte Zufallsvariable, dann schreiben sich die Transformationen als

• $S_L$ (lognormal) Transformation: $Y = e^{\frac{Z-\gamma}{\delta}}$

• $S_U$ (unbegrenzt) Transformation: $Y = sinh(\frac{Z-\gamma}{\delta})$

• $S_B$ (begrenzt) Transformation: $Y = \frac{1}{1+e^{\frac{Z-\gamma}{\delta}}}$

Die Wirkungen dieser Transformationen lassen sich gut im $(\beta _1,\beta _2)$ -Raum darstellen. Für die Parameter $\beta_1$ und $\beta_2$ gilt

$$\beta_1 = \frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} \quad \beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2}$$ (47)

Dabei sind die $\mu_i$ die i. zentralen Momente einer Zufallsvariablen X, für die gelten

$$\mu_i = E((X-\mu)^i) \quad \mu = E(X)$$ (48)

$E$ ist hierbei der Erwartungswert (siehe Abschnitt 2.3.1) und $\mu$ wird als Mittelwert bezeichnet. $\sqrt{\beta_1}$ werden als Schiefe (Skewness) und $\beta_2$ als Wölbung (Kurtosis) bezeichnet.

Die Parameter $\gamma$ und $\delta$ der Johnson Transformationen sowie die Parameter $\mu'$ und $\sigma$ der Normalverteilung lassen sich aus den Größen $\mu$ , $\mu_2$ , $\mu_3$ und $\mu_4$ bestimmen. Für eine genauere Darstellung sei hier auf [15] Seite 164 verwiesen.

In Abbildung E.1 sind die Gebiete, die sich mit den Transformationen $S_B$ , $S_L$ und $S_U$ erreichen lassen im $(\beta _1,\beta _2)$ -Raum dargestellt. Beispielhaft sind auch die empirischen Verteilungen der Kaufpreise von Geräten aus verschiedenen Krankenhäusern als Punkte eingezeichnet. Es ist deutlich zu erkennen, dass die empirischen Kaufpreis-Verteilungen im $S_B$ -Bereich zu finden sind.

Abbildung E.1: Darstellung im $(\beta _1,\beta _2)$ -Raum der Bereiche, die sich durch Johnson Transformationen $S_B$ , $S_L$ und $S_U$ erreichen lassen. Beispielhaft sind Kaufpreis-Verteilungen von verschiedenen Krankenhäusern als Punkte eingezeichnet. Deutung siehe Text.